تمثل قوانين الاحتمالية في الرياضيات مجموعة من القواعد والمبادئ التي تحكم سلوك الأحداث العشوائية وتحسب احتمالات وقوع الأحداث المختلفة. توفر هذه القوانين أساسًا أساسيًا لدراسة الاحتمالات وتقدير الاحتمالات والتحليل الدقيق للظواهر العشوائية.

قوانين الاحتمالات في الرياضيات

في الرياضيات هناك أربعة قوانين رئيسية للاحتمالات، والتي يمكن تلخيصها على النحو التالي:

  • قانون الجمع في الاحتمالات:
  • ينص هذا القانون على أن احتمال وقوع أحداث متعددة هو مجموع احتمالات كل حدث على حدة.
  • L(AUB) = L(A) + L(B) L(A ∩ B)
  • قانون ضرب الاحتمالات:
  • يدور هذا القانون حول حساب احتمال وقوع حدثين مستقلين. إذا كان الحدثان A وB مستقلين عن بعضهما البعض، فإن احتمال وقوع كلا الحدثين هو حاصل ضرب احتمال وقوع كل حدث.
  • ل(أ ∩ ب) = ل(أ) * ل(ب)
  • قانون الاحتمال التكميلي:
  • يتم استخدام قانون الاحتمال التكميلي لحساب احتمال وقوع حدث معاكس (أو مرتبط). إذا كان A حدثًا معينًا، فإن الاحتمال التكميلي لـ A هو احتمال حدوث شيء آخر غير A.
  • ل(أ) = 1 ل(أ)
  • قانون الاحتمالية الإجمالية:
  • ينص هذا القانون على أن مجموع احتمالات جميع النتائج المحتملة لتجربة معينة يجب أن يساوي واحدًا. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يحدث أي حدث على وجه اليقين وأن جميع النتائج المحتملة مغطاة باحتمالات مجمعة تساوي واحدًا.

أمثلة على قوانين الاحتمالات في الرياضيات

يمكن العثور على أمثلة لقوانين الاحتمالات في الرياضيات في الجدول التالي:

القانون مثال

قانون الجمع في الاحتمالات

 علبة من الكرات الملونة. الهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء أو زرقاء. لنفترض أن احتمال اختيار كرة حمراء هو ثلاث من أصل عشر كرات حمراء، وأن احتمال اختيار كرة زرقاء هو أربعة من أصل عشرة كرات زرقاء.

  • L(أحمر U أزرق) = L(أحمر) + L(أزرق) L(أحمر ∩ أزرق)
  • 3/10 + 4/10 1/10 = 3/5 إذن احتمال اختيار كرة حمراء أو زرقاء هو 3/5

قانون ضرب الاحتمالات

 صندوق يحتوي على 3 كرات، كرة حمراء وكرة زرقاء وكرة خضراء. الهدف هو حساب احتمالية اختيار كرة حمراء متبوعة باحتمالية اختيار كرة زرقاء.

  • احتمال اختيار كرة حمراء: 1/3 حيث توجد كرة حمراء واحدة من بين ثلاث كرات.
  • احتمالية اختيار كرة زرقاء: بعد اختيار كرة حمراء، تبقى كرتان زرقاء وكرة خضراء واحدة، وبالتالي فإن احتمال اختيار كرة زرقاء هو 1/2.

استخدام قانون الضرب في الاحتمالات:

  • L(أزرق ∩ أحمر) = L(أزرق) * L(أحمر) = 1/3 & 1/2 = 1/6احتمال اختيار كرة حمراء تليها كرة زرقاء هو 1/6.

قانون الاحتمال التكميلي

 إذا كان احتمال اجتياز الطالب لاختبار الرياضيات هو 0.8، فإن احتمال رسوب الطالب (أي الفشل) في هذا الاختبار هو:

  • L(الفشل)=1−L(النجاح)=1−0.8=0.2

قانون الاحتمال الكلي

 عند رمي قطعة نقد، فإن النتيجتين المحتملتين هما ظهور فئة العملة وظهور شعار العملة، حيث أن احتمال ظهور فئة العملة: 0.5 واحتمال ظهور شعار العملة: 0.5، وقانون يمكن استخدام الاحتمال الإجمالي للتأكد من أن مجموع احتمالات النتائج يساوي واحدًا:

  • L(قيمة العملة) + L(شعار العملة)= 0.5+ 0.5 = 1