أمثلة على إيجاد نتيجة الجمل المنطقية
وفيما يلي أمثلة توضيحية لكيفية العثور على منتج الجمل المنطقية:
أمثلة على جمل البوابة الأساسية
الخطوة الأولى في حل البوابات المنطقية هي فهمها وإتقان مفهومها. تشتمل البوابات المنطقية الأساسية على أدوات اقتران أساسية: (AND، OR، NOT). بوابة AND تعطي الخرج 1 فقط إذا كانت جميع مدخلاتها 1، بينما بوابة OR تعطي الخرج 0 فقط إذا كانت جميع المدخلات 0. أما بوابة NOT فتعمل على عكس قيمة المدخلات، إذ تعطي 0 إذا كان الإدخال 1، والعكس صحيح. فيما يلي أمثلة على الجمل المنطقية الأساسية مع الحلول:
لنفترض أن أ=1، ب=0، ج=1، د=0، أوجد ناتج العبارات المنطقية التالية:
- مثال 1: أ و ب
- الحل: بما أن أحد مدخلات بوابة AND هو 0، فإن الإخراج سيكون 0.
- مثال 2: أ و ج أو د
- الحل:
- نبدأ بتطبيق الأولويات في العمليات المنطقية، حيث نبدأ بتحليل بوابة AND كما يلي: a AND c= 1 AND 1=1
- ثم نقوم بإدخال النتيجة في بوابة OR كما يلي: d OR 1 = 0 OR 1 = 1.
- مثال 3: ليس ب أو (ج و د)
- الحل: بما أن الأقواس تعطي أولوية أعلى لأي عملية حسابية أو منطقية، فإننا نقوم بتحليل الجزء الموجود داخل القوسين أولاً:
- بعد ذلك نطبق بوابة NOT:
- وفي النهاية تصبح الجملة المنطقية:
أمثلة على جمل البوابة المشتقة
تنقسم البوابات المنطقية المشتقة إلى أربعة أنواع رئيسية تختلف في وظائفها: (NAND، NOR، XOR، XNOR). ويؤدي كل نوع من هذه البوابات وظيفة محددة. على سبيل المثال، تمثل بوابة NAND NOT AND، التي تعكس نتيجة بوابة AND، بينما تمثل NOR، التي تعكس نتيجة OR. بوابة XOR تعطي 0 إذا كانت المدخلات متساوية و1 إذا كانت مختلفة، وXNOR تعطي 1 فقط إذا كانت المدخلات متساوية. وفيما يلي أمثلة على الجمل المنطقية المتعلقة بهذه البوابات:
لنفترض أن أ=1، ب=0، ج=1، د=0، احسب نتيجة العبارات المنطقية التالية:
- مثال 1: أ NAND ب
- الحل: باستخدام تحليل بوابة NAND إلى NOT AND، نحصل على:
- أ ليس و ب = 1 ليس و 0 = ليس 0 = 1
- الحل: باستخدام تحليل بوابة NAND إلى NOT AND، نحصل على:
- مثال 2: d XOR a NOR ج
- الحل: نبدأ بإيجاد النتيجة من اليسار إلى اليمين:
- لذلك:
- مثال 3: أ XNOR ج NAND ( ب NOR ج XOR د)
- الحل: أولاً، نقوم بتحليل الجزء الموجود بين القوسين من اليسار إلى اليمين:
- 0 ولا 1 XOR 0 = 0 XOR 0 = 0
- ثم نحول الجملة إلى:
- أ XNOR ج NAND 0 = 1 XNOR 1 NAND 0 = 1 NAND 0 = 1
- الحل: أولاً، نقوم بتحليل الجزء الموجود بين القوسين من اليسار إلى اليمين:
أمثلة على جمل البوابة الأساسية والمشتقة
يمكن أن تتكون الجمل المنطقية من مجموعة من البوابات الأساسية والمشتقة. وفيما يلي أمثلة توضيحية لهذه الجمل:
افترض أن a=1، b=0، c=1، d=0، احسب نتيجة الجمل المنطقية التالية:
- مثال 1: أ أو ب ولا ج
- الحل: تحليل الجملة من اليسار إلى اليمين:
- ونعتبر النتيجة في الجزء الآخر من الجملة لنحصل على:
- مثال 2: a AND d XOR (c XNOR b)
- الحل: نبدأ بتحليل الجزء الموجود بين القوسين:
- وتنتهي الجملة على النحو التالي:
- أ و د XOR 0 = 1 و 0 XOR 0 = 0
- مثال 3: أ NOR NOT ( d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الحل: نبدأ بالأقواس ونعطيها الأولوية في التحليل:
- د ناند ب = 0 ناند 0 = 1
- ثم نجد النتيجة: 1 أو XOR b وc XNOR a = 1
- وأخيرا نحصل على:
- الحل: نبدأ بالأقواس ونعطيها الأولوية في التحليل:
أمثلة على حل البوابات المنطقية باستخدام الآلة الحاسبة
تقوم الآلة الحاسبة لحل الجمل المنطقية بتمرير العملية وتظهر النتيجة إما 0 أو 1. فيما يلي بعض الحلول التي تم الحصول عليها من الآلة الحاسبة مقابل النتائج المحسوبة يدويًا:
لنفترض أن أ=1، ب=0، ج=1، د=0، احسب نتيجة الجمل المنطقية التالية:
- مثال 2: أ و ج أو د
- عند إدخال القيم في الآلة الحاسبة تكون النتيجة 1 كما تم حسابها يدويا.
- مثال 3: ليس ب أو (ج و د)
- والنتيجة هي 1 كما تم حسابها يدويا.
- مثال 4: أ NAND ب
- الإخراج 1 كما تم حسابه يدويًا.
- مثال 5: d XOR a NOR ج
- النتيجة 0 كما تم حسابها يدويًا.
- مثال 6: أ XNOR c NAND (b NOR c XOR d)
- بعد تطبيق العمليات حسب الأولوية ستكون النتيجة 1 كما تم حلها يدويا.
- مثال 7: أ أو ب ولا ج
- الناتج النهائي هو 0 كما يتم حسابه يدويًا.
- مثال 8: a AND d XOR (c XNOR b)
- الناتج النهائي هو 0 كما يتم حسابه يدويًا.
- مثال 9: أ NOR NOT (d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الناتج النهائي هو 0 كما يتم حسابه يدويًا.
أمثلة على كتابة جدول الحقيقة
تم إعداد جدول الحقيقة ليمثل كافة الاحتمالات التي يمكن أن تتحملها قيم المتغيرات المدخلة للبوابات المنطقية. فيما يلي بعض الأمثلة على الجمل المنطقية مع تمثيلها في جدول الحقيقة:
| أ و ليس ج | ج | أ |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
- مثال 2: أ أو ب و (أ ولا ب)
| أ أو ب و (أ ولا ب) | ج | ب | أ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
- مثال 3: (أ NAND ب و (ج أو لا أ)
| (أ NAND ب و (ج أو لا أ) | ج | ب | أ |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
أمثلة على تبسيط الجمل المنطقية
يمكن تبسيط الجمل المنطقية المعقدة من خلال تطبيق عمليات التبسيط اللازمة لمعرفة نتيجتها كما شرحنا سابقاً خطوة بخطوة. فيما يلي بعض الأمثلة:
- مثال 1: أ لا أو ب لا و ج
- مثال 2: أ NAND ج NOT OR (ب XOR د)
- الحل: أ NAND ج NOR (ب XOR د)
- مثال 3: d XNOR c AND NOT (a NOR b)
- الحل: d XNOR c NAND (a NOR b)
أمثلة على تحويل الجمل اللفظية إلى جمل منطقية
تستخدم البوابات المنطقية لأداء المهام المختلفة في الدوائر الكهربائية. فيما يلي بعض الأمثلة على المهام التي يمكن تنفيذها عن طريق كتابة عبارات منطقية تعبر عن وظائف محددة:
- مثال 1: إذا كان لدينا 3 مصابيح، وعندما انطفأ أحدهم انطفأت بقية المصابيح، اكتب عبارة منطقية تعبر عن حالة المصابيح؟
- الحل: إذا كانت جميع المصابيح مطفأة، فهذا يعني أن المصابيح متصلة على التوالي. إذا تم تمثيل مصابيح LED بواسطة a، b، c، فإن التعبير المنطقي هو (a AND b AND c).
- مثال 2: إذا كان لدينا مفتاح A متصل على التوالي مع المفتاح B ومتصل على التوازي مع المفتاح C، فاكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة المفاتيح؟
- الحل: التعبير المنطقي هو (a AND b أو c).
- مثال 3: إذا كان لدينا مكثف كهربائي A موصل بمقاومة C على التوازي، ومقاومة C موصلة على التوازي بمصدر طاقة B، فاكتب تعبيرا منطقيا يعبر عن حالة الدائرة الكهربائية؟
- الحل: التعبير المنطقي هو (أ أو ج أو ب).
تؤدي البوابات المنطقية وظائف مهمة داخل الدوائر الكهربائية من خلال استقبال مدخلات محددة وإجراء العمليات عليها حتى تحقق مخرجاتها المهام المطلوبة. كل اقتران منطقي له مدخلان ومخرج واحد، ويتطلب فهم العبارات المنطقية ومهامها كتابة جداول الحقيقة لتمنح المصمم تصورًا أفضل للنتائج الناتجة قبل البدء في شراء المكونات وإجراء التصميم الفعلي. ولذلك فإن فهم البوابات المنطقية أمر ضروري في عصرنا هذا بسبب تزايد الاستخدامات الإلكترونية.